Наближений метод розв’язання матричних рівнянь Вінера – Гопфа в задачах прикладної механіки

Abstract

Запропоновано метод послiдовних наближень для розв’язання системи функцiональних рiвнянь Вiнера — Гопфа. Метод використовує подання матричного коефiцiєнта системи у виглядi суми двох матриць, одна з яких допускає точну факторизацiю, а вiдносно iншої — матрицi-збурення — передбачається умова її малостi порiвняно з першим доданком в областi задання системи. Розв’язок системи шукається у виглядi розвинень за степенями матрицi-збурення. На кожному кроцi наближення розв’язання системи здiйснюється за допомогою методу Вiнера — Гопфа з використанням факторизацiї основної складової матричного коефiцiєнта. Використання методу iлюструється на прикладi розв’язання задачi про розрахунок параметрiв зони передруйнування у з’єднувальному матерiалi в кiнцi мiжфазної трiщини, що виходить з кутової точки ламаної межi подiлу двох рiзних матерiалiв. Зона моделюється лiнiєю розриву перемiщення, на якiй напруження задовольняють критерiй мiцностi Мiзеса — Хiлла. Показано, що за певних умов вже у першому наближеннi метод дозволяє отримувати розв’язки з прийнятною точнiстю.